Комбинаторные алгоритмы для программистов



             

Обменная сортировка


Обменная сортировка некоторым систематическим образом меняет местами пары имен, не отвечающие порядку, до тех пор, пока такие пары существуют. Фактически алгоритм 14.1 можно рассматривать как обменную сортировку, в которой имя

x_j
меняется местами со своим соседом слева, пока не оказывается на правильном месте. В этом разделе мы обсуждаем два типа обменных сортировок: хорошо известную, но относительно неэффективную пузырьковую сортировку и быструю сортировку — один из лучших со всех точек зрения алгоритмов внутренней сортировки.

Пузырьковая сортировка. Наиболее очевидный метод систематического обмена местами имен с неправильным порядком состоит в просмотре пар смежных имен последовательно слева направо и перемене мест тех имен, которые не отвечают порядку.

Пузырьковая сортировка, примененная к таблице. Показан вектор инверсии таблицы после каждого прохода

Рис. 14.2.  Пузырьковая сортировка, примененная к таблице. Показан вектор инверсии таблицы после каждого прохода

Эта техника получила название пузырьковой сортировки, так как большие имена "пузырьками всплывают" вверх (то есть на правый конец) таблицы. В алгоритме 14.2 эта простая идея реализуется с одним небольшим усовершенствованием: ясно, что не имеет смысла продолжать просмотр для больших имен (в правом конце таблицы), про которые известно, что они находятся на своих окончательных позициях. В алгоритме 14.2 используется переменная

b
, значение которой в начале цикла
while

равно наибольшему индексу

t
, такому, что про имя
x_t
еще не известно, стоит ли оно в окончательной позиции. На рис. 14.2 показана работа алгоритма на примере таблицы с
n = 8
именами.

Алгоритм 14.2. Пузырьковая сортировка

Алгоритм 14.2. Пузырьковая сортировка

Анализ пузырьковой сортировки зависит от трех факторов: числа проходов (то есть числа выполнений тела цикла

while
), числа сравнений
x_j > x_{j + 1}
и числа обменов
x_j \leftrightarrow x_{j + 1}
. Число обменов равно, как в алгоритме 14.1, числу инверсий: 0 в лучшем случае,
\frac{1} {2}n(n - 1)
в худшем случае и
\frac{1} {4}n(n - 1)
- в среднем. Рисунок 14.2

дает возможность предположить, что каждый проход пузырьковой сортировки, исключая последний, уменьшает на единицу каждый ненулевой элемент вектора инверсий и циклически сдвигает вектор на одну позицию влево; легко доказать, что это верно в общем случае, и поэтому число проходов равно единице плюс наибольший элемент вектора инверсий. В лучшем случае имеется всего один проход, в худшем случае -

n
проходов и в среднем -
\sum {kP_k }
проходов, где
P_k
- вероятность того, что наибольшим элементом вектора инверсии является
k - 1
. Общее число сравнений имен трудно определить, но можно показать, что оно равно
n - 1
в лучшем случае,
\frac{1} {2}n(n - 1)
в худшем случае и
\frac{1} {2}(n^2 - n\ln n) +
{\rm O}(n)
- в среднем.

Пузырьковую сортировку можно несколько улучшить, но при этом она все еще не сможет конкурировать с более эффективными алгоритмами сортировки. Ее единственным преимуществом является простота.

Как в простой сортировке вставками, так и в пузырьковой сортировке (алгоритм 14.2) основной причиной неэффективности является тот факт, что обмены дают слишком малый эффект, так как в каждый момент времени имена сдвигаются только на одну позицию. Такие алгоритмы непременно требуют порядка

n^2

операций, как в среднем, так и в худшем случаях.

Быстрая сортировка. Идея метода быстрой сортировки состоит в том, чтобы выбрать одно из имен в таблице и использовать его для разделения таблицы на две подтаблицы, составленные соответственно из имен меньших и больших выбранного, которые затем рекурсивно сортируются с использованием быстрой сортировки. Разделение можно реализовать, одновременно просматривая таблицу и слева направо, и справа налево, меняя местами имена в неправильных частях таблицы. Имя, используемое для расщепления таблицы, затем помещается между двумя подтаблицами, и две подтаблицы сортируются рекурсивно.

В алгоритме 14.3 показаны детали быстрой сортировки для сортировки таблицы

(x_f,x_{f + 1},\ldots,x_l )
, где
x_j

используется для разбиения таблицы на подтаблицы. На рис. 14.3 показано, как алгоритм 14.3 использует два указателя

i
и
j
для просмотра таблицы во время разбиения. В начале цикла "
while
i < j
"
i
и
j
указывают соответственно на первое и последнее имена, о которых известно, что они находятся не в тех частях файла, в которых требуется. Когда
i < j

встречаются, то есть когда

i \geqslant j
, все имена находятся в соответствующих частях таблицы и
x_f
помещается между двумя частями, меняясь при этом местами с
x_j
, алгоритм предполагает, что имя
x_{i + 1}
определено и больше, чем
x_f,x_{f + 1},\ldots,x_l
.


Алгоритм 14.3. Рекурсивный вариант быстрой сортировки, использующий первое имя для расщепления таблицы. Предполагается, что имя
x_{i + 1}

определено и больше или равно

x_f,x_{f + 1},\ldots,x_l
"


Рис. 14.3.  Фаза разбиения быстрой сортировки, использующей первое имя для разбиения таблицы. Значение
x_{i + 1}
не показано, оно предполагается большим, чем другие показанные значения

Алгоритм 14.3 изящен, но непрактичен. Проблема состоит в том, что рекурсия используется для записи подтаблиц, которые рассматриваются на более поздних этапах, и в худших случаях (когда таблица уже отсортирована) глубина рекурсии может равняться

n
. Следовательно, для стека, реализующего рекурсию, необходима память, пропорциональная
n
; для больших
n
такое требование становится неприемлемым. Кроме того, второе рекурсивное обращение к быстрой сортировке в алгоритме 14.3 может быть легко исключено. По этим причинам мы предлагаем алгоритм 14.4, итерационный вариант быстрой сортировки, в которой стек ведется явно. Элементом стека является пара
(f,l)
: когда пара находится в стеке, это значит, что нужно сортировать соответствующие
x_f,\ldots,x_l
. Алгоритм 14.4 помещает в стеке большую из двух подтаблиц и немедленно применяет алгоритм к меньшей подтаблице. Это уменьшает глубину стека в худшем случае примерно до
\lg n
. Заметим, что подтаблицы длины 1 игнорируются и что расщепление подтаблицы делается с использованием случайно выбранного имени в этой подтаблице.

Алгоритм 14.4.Итерационный вариант быстрой сортировки

увеличить изображение
Алгоритм 14.4.Итерационный вариант быстрой сортировки




Содержание  Назад