Комбинаторные алгоритмы для программистов


Планарность


Граф называют планарным, если существует такое изображение на плоскости его вершин и ребер, что:

  • каждая вершина
    v
    изображается отдельной точкой
    v'
    на плоскости;
  • каждое ребро
    (v,w)
    изображается простой кривой, имеющей концевые точки
    (v',w^1 )
    ;
  • эти кривые пересекаются только в общих концевых точках. Задача определения того, можно ли изобразить граф на плоскости без пересечения ребер, имеет большой практический интерес (например, при конструировании интегральных схем или печатных плат необходимо выяснить, можно ли окончательную схему вложить в плоскость).

Определение планарности графа отличается от других рассмотренных нами задач, поскольку при изображении точек и линий на плоскости приходится больше иметь дело с непрерывными, а не с дискретными величинами. Взаимосвязь между дискретными и непрерывными аспектами планарности заинтересовала математиков и привела к различным характеристикам планарных графов. С точки зрения математики эти характеристики изящны, но эффективных алгоритмов определения планарности они не дают. Наиболее успешный подход к определению планарности состоит просто в том, что граф разбивается на подграфы и затем делается попытка разместить его на плоскости, добавляя подграфы один за другим и сохраняя при размещении планарность.

Вначале сделаем несколько простых, но полезных наблюдений. Поскольку орграф планарен тогда и только тогда, если планарен соответствующий неориентированный граф, полученный игнорированием направления ребер, то достаточно рассматривать только неориентированные графы, поскольку неориентированный граф планарен тогда и только тогда, если все его двусвязные компоненты планарны. Поэтому если неориентированный граф является разделимым, мы можем разложить его на двусвязные компоненты и рассматривать их отдельно. Наконец, поскольку параллельные ребра и петли всегда можно добавить к графу или удалить из него без нарушения свойства планарности, нам достаточно рассматривать только простые графы. Поэтому при определении планарности будем предполагать, что граф неориентированный, простой и двусвязный.

Наша основная стратегия состоит прежде всего в том, чтобы в графе

G
найти цикл
C
, разместить
C
на плоскости в виде простой замкнутой кривой, разложить оставшуюся часть
G - C
на непересекающиеся по ребрам пути и затем попытаться разместить каждый из этих путей либо целиком внутри
C
, либо целиком вне
C
. Если нам удалось разместить так весь граф
G
, то он планарен, в противном случае он непланарен. Трудность этого способа заключается в том, что при размещении путей можно выбирать либо внутренность, либо внешность
C$
, и мы должны проконтролировать, чтобы неправильный выбор области размещения на ранней стадии не устранял возможности размещения последующих путей, - это могло бы привести нас к неверному заключению, что планарный граф непланарен.




Начало  Назад  



Книжный магазин