Ряд Ньютона

Мы назвали, как это обычно делают, формулу

$(a + x)^n$

биномом Ньютона. Это наименование с точки зрения истории математики неверно. Формулу для

$(a + x)^n$

хорошо знали среднеазиатские математики Омар Хайям, Гиясэдди и другие. В Западной Европе задолго до Ньютона она была известна Блэзу Паскалю. Заслуга же Ньютона была в ином - ему удалось обобщить формулу

$(a + x)^n$

на случай нецелых показателей. Именно, он доказал, что если

$a$

- положительное число и

$\left| x \right| < a$

, то для любого действительного значения

$\alpha$

имеет место равенство

$\begin{gathered} (x + a)^\alpha = a^\alpha + \alpha a^{\alpha - 1} x + \frac{{\alpha (\alpha - 1)}} {{1 \cdot 2}}a^{\alpha - 2} x^2 + \ldots \\ \ldots + \frac{{\alpha (\alpha - 1)\ldots (\alpha - k + 1)}} {{1 \cdot 2\ldots k}}a^{\alpha - k} x^k + \ldots \end{gathered}$

(10.9)

Только теперь получилось не конечное число слагаемых, а бесконечный ряд. В случае, когда

$n$

- натуральное число,

$(n - n)$

обращается в нуль. Но эта скобка входит в коэффициент всех членов, начиная с

$(n + 2)$

-го, и потому все эти члены разложения равны нулю. Поэтому при натуральном

$n$

ряд (10.9) превращается в конечную сумму.

Содержание Назад Вперед