Комбинаторные алгоритмы для программистов



             

Ряд Ньютона


Мы назвали, как это обычно делают, формулу

(a + x)^n
биномом Ньютона. Это наименование с точки зрения истории математики неверно. Формулу для
(a + x)^n
хорошо знали среднеазиатские математики Омар Хайям, Гиясэдди и другие. В Западной Европе задолго до Ньютона она была известна Блэзу Паскалю. Заслуга же Ньютона была в ином - ему удалось обобщить формулу
(a + x)^n
на случай нецелых показателей. Именно, он доказал, что если
a
- положительное число и
\left| x \right| < a
, то для любого действительного значения
\alpha
имеет место равенство

 \begin{gathered} (x + a)^\alpha = a^\alpha + \alpha a^{\alpha - 1} x + \frac{{\alpha (\alpha - 1)}} {{1 \cdot 2}}a^{\alpha - 2} x^2 + \ldots \\ \ldots + \frac{{\alpha (\alpha - 1)\ldots (\alpha - k + 1)}} {{1 \cdot 2\ldots k}}a^{\alpha - k} x^k + \ldots \end{gathered}

(10.9)

Только теперь получилось не конечное число слагаемых, а бесконечный ряд. В случае, когда

n
- натуральное число,
(n - n)

обращается в нуль. Но эта скобка входит в коэффициент всех членов, начиная с

(n + 2)
-го, и потому все эти члены разложения равны нулю. Поэтому при натуральном
n
ряд (10.9) превращается в конечную сумму.




Содержание  Назад  Вперед