Применение степенных рядов для доказательства тождеств
С помощью степенных рядов можно доказывать многие тождества. Для этого берут некоторую функцию и двумя способами разлагают ее в степенной ряд. Поскольку функция может быть представлена лишь единственным образом в виде степенного ряда, то коэффициенты при одинаковых степенях

Рассмотрим, например, известное нам разложение

Возведя обе части этого разложения в квадрат, получаем
![]() |
(10.1) |
Если заменить здесь


![]() |
(10.2) |
Перемножив разложения (10.1) и (10.2), выводим, что
![]() |
(10.3) |
Очевидно, что коэффициенты при нечетных степенях



Но функцию


А разложение для



![]() |
(10.4) |
Мы знаем, что никакая функция не может иметь двух различных разложений в степенные ряды. Поэтому коэффициент при

разложении (10.3) должен равняться коэффициенту при

в разложении (10.4). Отсюда вытекает следующее тождество:
