Комбинаторные алгоритмы для программистов

          

Применение степенных рядов для доказательства тождеств


С помощью степенных рядов можно доказывать многие тождества. Для этого берут некоторую функцию и двумя способами разлагают ее в степенной ряд. Поскольку функция может быть представлена лишь единственным образом в виде степенного ряда, то коэффициенты при одинаковых степенях

Применение степенных рядов для доказательства тождеств
в обоих рядах должны совпадать. Это и приводит к доказываемому тождеству.

Рассмотрим, например, известное нам разложение

Применение степенных рядов для доказательства тождеств

Возведя обе части этого разложения в квадрат, получаем

Применение степенных рядов для доказательства тождеств

(10.1)

Если заменить здесь

Применение степенных рядов для доказательства тождеств
на –
Применение степенных рядов для доказательства тождеств
, то получим, что

Применение степенных рядов для доказательства тождеств

(10.2)

Перемножив разложения (10.1) и (10.2), выводим, что

Применение степенных рядов для доказательства тождеств

(10.3)

Очевидно, что коэффициенты при нечетных степенях

Применение степенных рядов для доказательства тождеств
обращаются в нуль, каждое слагаемое дважды входит в эти коэффициенты с противоположными знаками. Коэффициент же
Применение степенных рядов для доказательства тождеств
равен

Применение степенных рядов для доказательства тождеств

Но функцию

Применение степенных рядов для доказательства тождеств
можно разложить в степенной ряд и иным образом. Мы имеем

Применение степенных рядов для доказательства тождеств

А разложение для

Применение степенных рядов для доказательства тождеств
получается из разложения (10.1), если заменить в нем
Применение степенных рядов для доказательства тождеств
на
Применение степенных рядов для доказательства тождеств
:

Применение степенных рядов для доказательства тождеств

(10.4)

Мы знаем, что никакая функция не может иметь двух различных разложений в степенные ряды. Поэтому коэффициент при

Применение степенных рядов для доказательства тождеств

разложении (10.3) должен равняться коэффициенту при

Применение степенных рядов для доказательства тождеств

в разложении (10.4). Отсюда вытекает следующее тождество:

Применение степенных рядов для доказательства тождеств



Содержание раздела