Применение степенных рядов для доказательства тождеств

С помощью степенных рядов можно доказывать многие тождества. Для этого берут некоторую функцию и двумя способами разлагают ее в степенной ряд. Поскольку функция может быть представлена лишь единственным образом в виде степенного ряда, то коэффициенты при одинаковых степенях

в обоих рядах должны совпадать. Это и приводит к доказываемому тождеству.

Рассмотрим, например, известное нам разложение

Возведя обе части этого разложения в квадрат, получаем

(10.1)

Если заменить здесь

на –, то получим, что

(10.2)

Перемножив разложения (10.1) и (10.2), выводим, что

(10.3)

Очевидно, что коэффициенты при нечетных степенях

обращаются в нуль, каждое слагаемое дважды входит в эти коэффициенты с противоположными знаками. Коэффициент же равен

Но функцию

можно разложить в степенной ряд и иным образом. Мы имеем

А разложение для

получается из разложения (10.1), если заменить в нем на :

(10.4)

Мы знаем, что никакая функция не может иметь двух различных разложений в степенные ряды. Поэтому коэффициент при

разложении (10.3) должен равняться коэффициенту при

в разложении (10.4). Отсюда вытекает следующее тождество:

Содержание раздела

---

---