Применение степенных рядов для доказательства тождеств

С помощью степенных рядов можно доказывать многие тождества. Для этого берут некоторую функцию и двумя способами разлагают ее в степенной ряд. Поскольку функция может быть представлена лишь единственным образом в виде степенного ряда, то коэффициенты при одинаковых степенях

$x$

в обоих рядах должны совпадать. Это и приводит к доказываемому тождеству.

Рассмотрим, например, известное нам разложение

$\frac{1}{{1 - x}} = 1 + x + x^2 + \ldots + x^n + \ldots$

Возведя обе части этого разложения в квадрат, получаем

$\frac{1}{{(1 - x)^2 }} = 1 + 2x + 3x^2 + \ldots + (n + 1)x^n + \ldots$

(10.1)

Если заменить здесь

$x$

на –

$x$

, то получим, что

$\frac{1}{{(1 + x)^2 }} = 1 - 2x + 3x^2 - \ldots + ( - 1)^n (n + 1)x^n + \ldots$

(10.2)

Перемножив разложения (10.1) и (10.2), выводим, что

$\begin{gathered} \frac{1} {{(1 - x)^2 }}\frac{1} {{(1 + x)^2 }} = 1 + [1( - 2) + 2 \cdot 1]x + [1 \cdot 3 + 2( - 2) + 3 \cdot 1]x^2 + \hfill \\ \ldots + [1( - 1)^n (n + 1) + 2( - 1)^{n - 2} n + \ldots + ( - 1)^n (n + 1) \cdot 1]x^n + \ldots \hfill \\ \end{gathered}$