Получим производящую функцию для конечной последовательности чисел
. Известно, что
и
Эти равенства являются частными случаями более общей формулы, дающей разложение для
. Запишем
в виде
(10.4)
Раскроем скобки в правой части этого равенства, причем будем записывать все множители в том порядке, в котором они нам встретятся. Например,
запишем в виде
(10.5)
а
- в виде
(10.6)
Видно, что в формулу (10.5) входят все размещения с повторениями, составленные из букв
и
по две буквы в каждом размещении, а в формулу (10.6) - размещения с повторениями из тех же букв, но состоящие из трех букв каждое. То же самое и в общем случае — после раскрытия скобок в формуле (10.4) мы получим всевозможные размещения с повторениями букв
и
, состоящие из
элементов. Приведем подобные члены. Подобными будут члены, содержащие одинаковое количество букв
(тогда и букв
в них будет поровну). Найдем, сколько будет членов, в которые входит
букв
и, следовательно,
букв
. Эти члены являются перестановками с повторениями, составленными из
букв
и
букв
. Поэтому их число равно
Отсюда вытекает, что после приведения подобных членов выражение
войдет с коэффициентом
. Итак, мы доказали, что
(10.7)
Равенство (10.7) принято называть формулой бинома Ньютона. Если положить в этом равенстве
, то получим
(10.8)
Мы видим, что
является производящей функцией для чисел
,
. С помощью этой производящей функции можно сравнительно просто доказать многие свойства чисел
