Деление многочленов

Если заданы два многочлена

$f(x)$

$\varphi (x)$

, то всегда существуют многочлены

$q(x)$

(частное) и

$r(x)$

(остаток), такие, что

$f(x) = \varphi (x)q(x) + r(x)$

, причем степень

$r(x)$

меньше степени

$\varphi (x)$

или

$r(x) = 0$

. При этом

$f(x)$

называется делимым, а

$\varphi (x)$

- делителем. Если же мы хотим, чтобы деление выполнялось без остатка, то придется допустить в качестве частного не только многочлены, но и бесконечные степенные ряды. Для получения частного надо расположить многочлены по возрастающим степеням

$x$

и делить "углом", начиная с младших членов. Рассмотрим, например, деление

$1$

на

$1 - x$

$\arraycolsep=0pt \begin{array}{rrrrl} 1 &&&&\multicolumn{1}{|l}{1-x}\\ \cline{5-5} \mp1&{}\pm x &&& \multicolumn{1}{|l}{1+x+x^2+\ldots}\\ \cline{1-4} & x \\ &{}\mp x &\pm x^2\\ \cline{2-3} && x^2\\ && \mp x^2&\pm x^3\\ \cline{3-4} &&& x^3\hbox to 0pt{\ldots\hss} \end{array}$

Ясно, что процесс деления никогда не закончится ( так же, например, как при обращении числа

$\frac{1}{3}$

в бесконечную десятичную дробь). С помощью индукции легко убедиться, что все коэффициенты частного равны единице. Поэтому в качестве частного получается бесконечный ряд

$1 + x + x^2 + \ldots + x^n + \ldots$