Комбинаторные алгоритмы для программистов

          

Алгебраические дроби и степенные ряды


При делении многочлена

Алгебраические дроби и степенные ряды
на многочлен
Алгебраические дроби и степенные ряды
мы получаем бесконечный степенной ряд. Возникает вопрос: как связан этот ряд с алгебраической дробью
Алгебраические дроби и степенные ряды
, то есть какой смысл можно придать записи

Алгебраические дроби и степенные ряды

(9.2)

Рассмотрим, например, разложение

Алгебраические дроби и степенные ряды

(9.3)

Мы не пишем здесь знака равенства, так как не знаем, какой смысл имеет стоящая справа сумма бесконечного числа слагаемых. Чтобы выяснить это, попробуем подставлять в обе части соотношения (9.3) различные значения

Алгебраические дроби и степенные ряды
. Сначала положим
Алгебраические дроби и степенные ряды
. Тогда левая часть соотношения примет значение
Алгебраические дроби и степенные ряды
, а правая превратится в бесконечный числовой ряд
Алгебраические дроби и степенные ряды

Так как мы не умеем складывать бесконечно много слагаемых, попробуем взять сначала одно слагаемое, потом - два, потом - три и так далее слагаемых. Мы получим такие суммы:

Алгебраические дроби и степенные ряды

Алгебраические дроби и степенные ряды
. Ясно, что с возрастанием
Алгебраические дроби и степенные ряды

эти суммы приближаются к значению

Алгебраические дроби и степенные ряды
которое приняла левая часть соотношения (9.3) при
Алгебраические дроби и степенные ряды
.

То же самое получится, если вместо

Алгебраические дроби и степенные ряды
подставить в обе части (9.3) число
Алгебраические дроби и степенные ряды
. Левая часть равенства примет значение 2, а правая превратится в бесконечный числовой ряд
Алгебраические дроби и степенные ряды
Беря последовательно одно, два, три, четыре, слагаемых, мы получим числа 1;
Алгебраические дроби и степенные ряды
;
Алгебраические дроби и степенные ряды
;
Алгебраические дроби и степенные ряды
,…,
Алгебраические дроби и степенные ряды
. Ясно, что с возрастанием
Алгебраические дроби и степенные ряды
эти числа стремятся к числу 2.

Однако, если взять

Алгебраические дроби и степенные ряды
, то левая часть (9.3) примет значение
Алгебраические дроби и степенные ряды
, а в правой получим ряд
Алгебраические дроби и степенные ряды

Если последовательно складывать члены этого ряда, то получаются суммы 1; 5; 21; 85; … Эти суммы неограниченно увеличиваются и не приближаются к числу

Алгебраические дроби и степенные ряды
.

Мы встретились, таким образом, с двумя случаями. Чтобы их различать, введем общее понятие о сходимости и расходимости числового ряда. Пусть задан бесконечный числовой ряд

Алгебраические дроби и степенные ряды

(9.4)

Говорят, что бесконечный числовой ряд сходится к числу

Алгебраические дроби и степенные ряды
, если разность
Алгебраические дроби и степенные ряды

стремится к нулю при неограниченном увеличении

Алгебраические дроби и степенные ряды
. Иными словами, какое бы число
Алгебраические дроби и степенные ряды
мы ни указали, отклонение суммы
Алгебраические дроби и степенные ряды
от
Алгебраические дроби и степенные ряды
, начиная с некоторого номера
Алгебраические дроби и степенные ряды
, окажется меньше
Алгебраические дроби и степенные ряды
:

Алгебраические дроби и степенные ряды

В этом случае число

Алгебраические дроби и степенные ряды
называют суммой бесконечного ряда
Алгебраические дроби и степенные ряды
и пишут

Алгебраические дроби и степенные ряды

Если не существует числа

Алгебраические дроби и степенные ряды
, к которому сходится данный ряд (9.4), то этот ряд называют расходящимся.

Проведенное выше исследование показывает, что

Алгебраические дроби и степенные ряды


Алгебраические дроби и степенные ряды


в то время как ряд
Алгебраические дроби и степенные ряды
... расходится. Более тщательное исследование показывает, что если
Алгебраические дроби и степенные ряды
, то ряд
Алгебраические дроби и степенные ряды
сходится к
Алгебраические дроби и степенные ряды
, а если
Алгебраические дроби и степенные ряды
, то он расходится. Чтобы доказать это утверждение, достаточно заметить, что

Алгебраические дроби и степенные ряды


и что при
Алгебраические дроби и степенные ряды
выражение
Алгебраические дроби и степенные ряды
стремится к нулю, если
Алгебраические дроби и степенные ряды
, и к бесконечности, если
Алгебраические дроби и степенные ряды
. При
Алгебраические дроби и степенные ряды


получаем расходящиеся числовые ряды
Алгебраические дроби и степенные ряды


и
Алгебраические дроби и степенные ряды
.Итак, если
Алгебраические дроби и степенные ряды
, то

Алгебраические дроби и степенные ряды


(9.5)
Отметим, что равенство (9.5) - это известная из школьного курса математики формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Мы выяснили, таким образом, смысл записи
Алгебраические дроби и степенные ряды


Она показывает, что для значений
Алгебраические дроби и степенные ряды
, лежащих в некоторой области, а именно при
Алгебраические дроби и степенные ряды
, стоящий справа ряд сходится к
Алгебраические дроби и степенные ряды
. Говорят, что функция
Алгебраические дроби и степенные ряды
при
Алгебраические дроби и степенные ряды
разлагается в степенной ряд
Алгебраические дроби и степенные ряды
.Теперь уже можно выяснить и более общий вопрос.

Пусть при делении многочлена
Алгебраические дроби и степенные ряды
на многочлен
Алгебраические дроби и степенные ряды
получился степенной ряд
Алгебраические дроби и степенные ряды


(9.6)
Оказывается, что тогда при достаточно малых значениях
Алгебраические дроби и степенные ряды
ряд (9.6) сходится к
Алгебраические дроби и степенные ряды
. Размеры области сходимости зависят от корней знаменателя, то есть чисел, при которых знаменатель обращается в нуль. Именно, если эти числа равны
Алгебраические дроби и степенные ряды
и
Алгебраические дроби и степенные ряды
- наименьшее из чисел
Алгебраические дроби и степенные ряды
, то ряд сходится в области
Алгебраические дроби и степенные ряды
.

Иными словами, всегда есть область
Алгебраические дроби и степенные ряды
, в которой выполняется равенство
Алгебраические дроби и степенные ряды


(9.7)
В степенные ряды можно разлагать не только алгебраические дроби, но и многие другие функции. В математическом анализе доказывают, например, что

Алгебраические дроби и степенные ряды


Алгебраические дроби и степенные ряды


Алгебраические дроби и степенные ряды


Отметим еще следующее важное утверждение: функция
Алгебраические дроби и степенные ряды


не может иметь двух различных разложений в степенные ряды.



Содержание раздела