Комбинаторные алгоритмы для программистов



             

Алгебраические дроби и степенные ряды


При делении многочлена

f(x)
на многочлен
\varphi (x)
мы получаем бесконечный степенной ряд. Возникает вопрос: как связан этот ряд с алгебраической дробью
\frac{{f(x)}} {{\varphi (x)}}
, то есть какой смысл можно придать записи

\frac{{f(x)}} {{\varphi (x)}} = c_0 + c_1 x + \ldots + c_n x^n + \ldots

(9.2)

Рассмотрим, например, разложение

 \frac{1}{{1 - x}} \cong 1 + x + x^2 + \ldots + x^n + \ldots

(9.3)

Мы не пишем здесь знака равенства, так как не знаем, какой смысл имеет стоящая справа сумма бесконечного числа слагаемых. Чтобы выяснить это, попробуем подставлять в обе части соотношения (9.3) различные значения

x
. Сначала положим
x = \frac{1}{{10}}
. Тогда левая часть соотношения примет значение
\frac{{10}}{9}
, а правая превратится в бесконечный числовой ряд
1+0,1+0,01+...+0.000...01+...

Так как мы не умеем складывать бесконечно много слагаемых, попробуем взять сначала одно слагаемое, потом - два, потом - три и так далее слагаемых. Мы получим такие суммы:

1; 1,1; 1,11; ... ; 1,111...1;

n
. Ясно, что с возрастанием
n

эти суммы приближаются к значению

\frac{{10}} {9} = 1,11\ldots,
которое приняла левая часть соотношения (9.3) при
x = \frac{1}{{10}}
.

То же самое получится, если вместо

x
подставить в обе части (9.3) число
\frac{1}{2}
. Левая часть равенства примет значение 2, а правая превратится в бесконечный числовой ряд
1 + \frac{1} {2} + \frac{1} {4} + \frac{1} {8} + \ldots + \frac{1} {{2^n }} + \ldots
Беря последовательно одно, два, три, четыре, слагаемых, мы получим числа 1;
1\frac{1} {2}
;
1\frac{3} {4}
;
1\frac{7} {8}
,…,
2 - \frac{1} {{2^n }}
. Ясно, что с возрастанием
n
эти числа стремятся к числу 2.

Однако, если взять

x = 4
, то левая часть (9.3) примет значение
- \frac{1} {3}
, а в правой получим ряд
1 + 4 + 4^2 + \ldots + 4^n+…

Если последовательно складывать члены этого ряда, то получаются суммы 1; 5; 21; 85; … Эти суммы неограниченно увеличиваются и не приближаются к числу

- \frac{1} {3}
.

Мы встретились, таким образом, с двумя случаями. Чтобы их различать, введем общее понятие о сходимости и расходимости числового ряда. Пусть задан бесконечный числовой ряд

a_1 + a_2 + \ldots + a_n + \ldots

(9.4)

Говорят, что бесконечный числовой ряд сходится к числу

b
, если разность
b - (a_1 + a_2 + \ldots + a_n )

стремится к нулю при неограниченном увеличении

n
. Иными словами, какое бы число
\varepsilon > 0
мы ни указали, отклонение суммы
a_1 + \ldots + a_n
от
b
, начиная с некоторого номера
N
, окажется меньше
\varepsilon
:

 \left| {b - (a_1 + \ldots + a_n )} \right| < \varepsilon \text{ если }n \geqslant N.

В этом случае число

b
называют суммой бесконечного ряда
a_1 + a_2 + \ldots + a_n + \ldots
и пишут

b =a_1 + a_2 + \ldots + a_n + \ldots.

Если не существует числа

b
, к которому сходится данный ряд (9.4), то этот ряд называют расходящимся.

Проведенное выше исследование показывает, что

 \frac{{10}}{9} = 1 + 0,1 + 0,01 + \ldots + 0,00\ldots 01 + \ldots,




Содержание  Назад  Вперед