Комбинаторные алгоритмы для программистов

Алгебраические дроби и степенные ряды - часть 2

$2 = 1 + \frac{1} {2} + \frac{1} {4} + \ldots + \frac{1} {{2^n }} + \ldots,$

в то время как ряд

$1 + 4 + 16 + \ldots + 4^n +$

... расходится. Более тщательное исследование показывает, что если

$\left| x \right| < 1$

, то ряд

$1 + x + \ldots + x^n + \ldots$

сходится к

$\frac{1}{{1 - x}}$

, а если

$\left| x \right| < 1$

, то он расходится. Чтобы доказать это утверждение, достаточно заметить, что

$1 + x + \ldots x^n = \frac{{1 - x^{n + 1} }}{{1 - x}}$

и что при

$n \to \infty$

выражение

$x^{n + 1}$

стремится к нулю, если

$\left| x \right| < 1$

, и к бесконечности, если

$\left| x \right| \geqslant 1$

. При

$x = \pm 1$

получаем расходящиеся числовые ряды

$1 + 1 + \ldots + 1 + \ldots$

и

$1 - 1 + \ldots + 1 - 1 + \ldots$

.Итак, если

$\left| x \right| < 1$

, то

$\frac{1} {{1 - x}} = 1 + x + \ldots + x^n + \ldots$

(9.5)

Отметим, что равенство (9.5) - это известная из школьного курса математики формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Мы выяснили, таким образом, смысл записи

$\frac{1} {{1 - x}} = 1 + x + \ldots + x^n + \ldots.$

Она показывает, что для значений

$x$

, лежащих в некоторой области, а именно при

$\left| x \right| < 1$

, стоящий справа ряд сходится к

$\frac{1} {{1 - x}}$

. Говорят, что функция

$\frac{1} {{1 - x}}$

при

$\left| x \right| < 1$

разлагается в степенной ряд

$1 + x + \ldots + x^n + \ldots$

.Теперь уже можно выяснить и более общий вопрос.

Пусть при делении многочлена

$f(x)$

на многочлен

$\varphi (x)$

получился степенной ряд

$c_0 + c_1 x + \ldots + c_n x^n + \ldots$

(9.6)

Оказывается, что тогда при достаточно малых значениях

$x$

ряд (9.6) сходится к

$f(x)/ \varphi (x)$

. Размеры области сходимости зависят от корней знаменателя, то есть чисел, при которых знаменатель обращается в нуль. Именно, если эти числа равны

$x_1,\ldots,x_k$

и

$r$

- наименьшее из чисел

$\left| {x_1 } \right|,\ldots,\left| {x_k } \right|$

, то ряд сходится в области

$\left| x \right| < r$

.

Иными словами, всегда есть область

$\left| x \right| < r$

, в которой выполняется равенство

$\frac{{f(x)}} {{\varphi (x)}} = c_0 + c_1 x + \ldots + c_n x^n + \ldots$

(9.7)

В степенные ряды можно разлагать не только алгебраические дроби, но и многие другие функции. В математическом анализе доказывают, например, что

$\sin x = x - \frac{{x^3 }}{{3!}} + \frac{{x^5 }}{{5!}} - \ldots,$

$\cos x = 1 - \frac{{x^2 }}{{2!}} + \frac{{x^4 }}{{4!}} - \ldots,$

$e^x = 1 + x + \frac{{x^2 }}{{2!}} + \frac{{x^3 }}{{3!}} + \ldots.$

Отметим еще следующее важное утверждение: функция

$f(x)$

не может иметь двух различных разложений в степенные ряды.

Содержание Назад Вперед