Комбинаторные алгоритмы для программистов



             

Алгебраические дроби и степенные ряды - часть 2


 2 = 1 + \frac{1} {2} + \frac{1} {4} + \ldots + \frac{1} {{2^n }} + \ldots,

в то время как ряд

1 + 4 + 16 + \ldots + 4^n +
... расходится. Более тщательное исследование показывает, что если
\left| x \right| < 1
, то ряд
1 + x + \ldots + x^n + \ldots
сходится к
\frac{1}{{1 - x}}
, а если
\left| x \right| < 1
, то он расходится. Чтобы доказать это утверждение, достаточно заметить, что

1 + x + \ldots x^n = \frac{{1 - x^{n + 1} }}{{1 - x}}

и что при

n \to \infty
выражение
x^{n + 1}
стремится к нулю, если
\left| x \right| < 1
, и к бесконечности, если
\left| x \right| \geqslant 1
. При
x = \pm 1

получаем расходящиеся числовые ряды

1 + 1 + \ldots + 1 + \ldots

и

1 - 1 + \ldots + 1 - 1 + \ldots
.Итак, если
\left| x \right| < 1
, то

\frac{1} {{1 - x}} = 1 + x + \ldots + x^n + \ldots

(9.5)

Отметим, что равенство (9.5) - это известная из школьного курса математики формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Мы выяснили, таким образом, смысл записи

 \frac{1} {{1 - x}} = 1 + x + \ldots + x^n + \ldots.

Она показывает, что для значений

x
, лежащих в некоторой области, а именно при
\left| x \right| < 1
, стоящий справа ряд сходится к
\frac{1} {{1 - x}}
. Говорят, что функция
\frac{1} {{1 - x}}
при
\left| x \right| < 1
разлагается в степенной ряд
1 + x + \ldots + x^n + \ldots
.Теперь уже можно выяснить и более общий вопрос.

Пусть при делении многочлена

f(x)
на многочлен
\varphi (x)
получился степенной ряд

 c_0 + c_1 x + \ldots + c_n x^n + \ldots

(9.6)

Оказывается, что тогда при достаточно малых значениях

x
ряд (9.6) сходится к
f(x)/ \varphi (x)
. Размеры области сходимости зависят от корней знаменателя, то есть чисел, при которых знаменатель обращается в нуль. Именно, если эти числа равны
x_1,\ldots,x_k
и
r
- наименьшее из чисел
\left| {x_1 } \right|,\ldots,\left| {x_k } \right|
, то ряд сходится в области
\left| x \right| < r
.

Иными словами, всегда есть область

\left| x \right| < r
, в которой выполняется равенство

 \frac{{f(x)}} {{\varphi (x)}} = c_0 + c_1 x + \ldots + c_n x^n + \ldots

(9.7)

В степенные ряды можно разлагать не только алгебраические дроби, но и многие другие функции. В математическом анализе доказывают, например, что

\sin x = x - \frac{{x^3 }}{{3!}} + \frac{{x^5 }}{{5!}} - \ldots,

\cos x = 1 - \frac{{x^2 }}{{2!}} + \frac{{x^4 }}{{4!}} - \ldots,

e^x = 1 + x + \frac{{x^2 }}{{2!}} + \frac{{x^3 }}{{3!}} + \ldots.

Отметим еще следующее важное утверждение: функция

f(x)

не может иметь двух различных разложений в степенные ряды.




Содержание  Назад  Вперед