Алгебраические дроби и степенные ряды - часть 2
в то время как ряд
... расходится. Более тщательное исследование показывает, что если
, то ряд
сходится к
, а если
, то он расходится. Чтобы доказать это утверждение, достаточно заметить, что
и что при
выражение
стремится к нулю, если
, и к бесконечности, если
. При
получаем расходящиеся числовые ряды
и
.Итак, если
, то
Отметим, что равенство (9.5) - это известная из школьного курса математики формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Мы выяснили, таким образом, смысл записи
Она показывает, что для значений
, лежащих в некоторой области, а именно при
, стоящий справа ряд сходится к
. Говорят, что функция
при
разлагается в степенной ряд
.Теперь уже можно выяснить и более общий вопрос.
Пусть при делении многочлена
на многочлен
получился степенной ряд
Оказывается, что тогда при достаточно малых значениях
ряд (9.6) сходится к
. Размеры области сходимости зависят от корней знаменателя, то есть чисел, при которых знаменатель обращается в нуль. Именно, если эти числа равны
и
- наименьшее из чисел
, то ряд сходится в области
.
Иными словами, всегда есть область
, в которой выполняется равенство
В степенные ряды можно разлагать не только алгебраические дроби, но и многие другие функции. В математическом анализе доказывают, например, что
Отметим еще следующее важное утверждение: функция
не может иметь двух различных разложений в степенные ряды.
Содержание Назад Вперед