Решение рекуррентных соотношений

Будем говорить, что рекуррентное соотношение имеет порядок

, если оно позволяет выразить через . Например,

рекуррентное соотношение второго порядка, а

- рекуррентное соотношение третьего порядка. Если задано рекуррентное соотношение -го порядка, то ему удовлетворяет бесконечно много последовательностей. Дело в том, что первые

элементов последовательности можно задать совершенно произвольно - между ними нет никаких соотношений. Но если первые

элементов заданы, то все остальные элементы определяются совершенно однозначно - элемент выражается в силу рекуррентного соотношения через элемент - через и т.д.

Пользуясь рекуррентным соотношением и начальными членами, можно один за другим выписывать члены последовательности, причем рано или поздно получим любой ее член. Однако при этом придется выписать и все предыдущие члены - ведь не узнав их, мы не узнаем и последующих членов. Но во многих случаях нужно узнать только один определенный член последовательности, а остальные не нужны. В этих случаях удобнее иметь явную формулу для

-го члена последовательности. Некоторая последовательность является решением данного рекуррентного соотношения, если при подстановке этой последовательности соотношение тождественно выполняется. Например, последовательность

является одним из решений рекуррентного соотношения

В самом деле, общий член этой последовательности имеет вид

. Значит, . Но при любом имеет место тождество . Поэтому является решением указанного соотношения.

Решение рекуррентного соотношения

-го порядка называется общим, если оно зависит от произвольных постоянных

и путем подбора этих постоянных можно получить любое решение данного соотношения. Например, для соотношения

(8.1)

общим решением будет

(8.2)

В самом деле, легко проверить, что последовательность (8.2) обращает (8.1) в тождество. Поэтому нам надо только показать, что любое решение нашего соотношения можно представить в виде (8.2). Но любое решение соотношения (8.1) однозначно определяется значениями

и . Поэтому нам надо доказать, что для любых чисел и

найдутся такие значения и , что и
Но легко видеть, что при любых значениях и
система уравнений
имеет решение. Поэтому (8.2) действительно является общим решением соотношения (8.1).

Содержание раздела

---

---