В комбинаторных задачах на подсчет числа объектов при наличии некоторых ограничений искомым решением часто является последовательность
, где
- число искомых объектов "размерности"
. Например, если мы ищем число разбиений числа, то можем принять
, если ищем число подмножеств
-элементного множества, то
и т.д. В этом случае удобно последовательности
, поставить в соответствие формальный ряд
(8.12)
называемый производящей функцией для данной последовательности. Название формальный ряд для данной последовательности означает, что (8.12) мы трактуем только как удобную запись нашей последовательности - в данном случае несущественно, для каких (действительных или комплексных) значений переменной
он сходится. Поэтому мы никогда не будем вычислять значение такого ряда для конкретного значения переменной
, мы будем только выполнять некоторые операции на таких рядах, а затем определять коэффициенты при отдельных степенях переменной
. Для произвольных рядов
мы определим операцию сложения:
(8.13)
операцию умножения на число (действительное или комплексное):
(8.14)
и произведение Коши
(8.15)
где
(8.16)
Если
для
, то ряд (8.12) будем отождествлять с многочленом
. Из математического анализа известно, что если ряд (8.12) сходится в некоторой окрестности нуля, то его сумма
является аналитической функцией в этой окрестности и
(8.17)
(
обозначает значение
-й производной функции
для
; ряд 8.12 - это не что иное, как ряд Маклорена функции
). Более того, когда
являются аналитическими функциями в окрестности нуля, то формулы (8.13)-(8.16) будут справедливы, если
трактовать как значения функций
в точке
, а ряды понимать в обычном смысле, т.е. так, как в математическом анализе. Это сохраняющее операции взаимно однозначное соответствие между рядами, сходящимися в окрестности нуля, и функциями, аналитическими в окрестности нуля, позволяет отождествить формальный ряд (8.12) с определенной через него аналитической функцией в случае рядов, сходящихся в окрестности нуля (несмотря на то, что ряды мы будем трактовать всегда как формальные ряды, то есть только как формальную запись их коэффициентов). Таким образом, будем писать, например,
