Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами - часть 2

Этими решениями являются

$C_1 = \frac{{b - ar_2 }}{{r_1 - r_2 }},$

$C_2^{} = \frac{{ar_1 - b}}{{r_1 - r_2 }}.$

(Случай, когда оба корня уравнения (8.6) совпадут друг с другом, разберем в следующем пункте.)

Пример на доказанное правило.

При изучении чисел Фибоначчи мы пришли к рекуррентному соотношению

$f(n) = f(n - 1) + f(n - 2).$

(8.7)

Для него характеристическое уравнение имеет вид

$r^2 = r + 1.$

Корнями этого квадратного уравнения являются числа

$r_1 = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2},\quadr_2 = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}.$

Поэтому общее решение соотношения Фибоначчи имеет вид

$f(n) = C_1 (\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2})^n + C_2 (\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2})^n.$

(8.8)

(Мы воспользовались сделанным выше замечанием и взяли показатели

$n$

вместо

$n - 1$

). Мы называли числами Фибоначчи решения соотношения (8.7), удовлетворяющее начальным условиям

$f(0) = 1,f(1) = 2$

( то есть последовательность

$1, 2, 3, 5, 8, 13, ...$

). Часто бывает более удобно добавить к этой последовательности вначале числа 0 и 1, то есть рассматривать последовательность

$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8 13,...$

Ясно, что эта последовательность удовлетворяет тому же самому рекуррентному соотношению (8.6) и начальным условиям

$f(0) = 1,f(1) = 2$

. Полагая в формуле (8.6)

$n = 0,n = 1$

, получаем для

$C_1^{},C_2$

систему уравнений

$C_1 + C_2 = 0$

$\hfill \frac{{\sqrt 5 }} {2}(C_1 - C_2 ) = 1 \hfill$

Отсюда находим, что

$C_1=-C_2=\frac{1}{\sqrt 5}$

и потому

$f(n) = \frac{1}{5}[(\frac{{1 + \sqrt 5 }} {2})^n - (\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2})^n ].$

(8.9)

На первый взгляд кажется удивительным, что это выражение при всех натуральных значениях

$n$

принимает целые значения.