Бывают комбинаторные задачи, в которых приходится составлять не одно рекуррентное соотношение, а систему соотношений, связывающую несколько последовательностей. Эти соотношения выражают
Задача: "Затруднение мажордома". Однажды мажордом короля Артура обнаружил, что к обеду за круглым столом приглашено 6 пар враждующих рыцарей. Сколькими способами можно рассадить их так, чтобы никакие два врага не сидели рядом?
Если мы найдем какой-то способ рассадки рыцарей, то, пересаживая их по кругу, получим еще 11 способов. Мы не будем сейчас считать различными способы, получающиеся друг из друга такой циклической пересадкой.
Введем следующие обозначения. Пусть число рыцарей равно
Выведем сначала формулу, выражающую
последующие рассуждения теряют силу.
Выясним теперь, сколькими способами можно снова посадить ушедших рыцарей за стол так, чтобы после этого не было одной пары соседей-врагов.
Проще всего посадить их, если за столом рядом сидят две пары врагов. В этом случае один из вновь пришедших садится между рыцарями первой пары, а другой – между рыцарями второй пары. Это можно сделать двумя способами. Но так как число способов рассадки
Пусть теперь рядом сидит только одна пара врагов.